Question

14．已知等差数列{a_n}满足a₃=15，a₁₀=1，且S_n是{a_n}的前n项和．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若S_k=-21，求k；
（3）求此数列的前n项和S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意和通项公式可得公差d，可得通项公式；
（2）由（1）可知a₁=19，d=-2，可得S_k=19k+$\frac{k（k-1）}{2}$×（-2）=-21，解关于k的方程可得；
（3）解不等式可得等差数列{a_n}前10项为正数，从第11项开始为负数，可得数列的前10项和最大，由求和公式计算即可．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}满足a₃=15，a₁₀=1，
∴公差d=$\frac{{a}_{10}-{a}_{3}}{10-3}$=-$\frac{15-1}{7}$=-2，
∴a_n=15-2（n-3）=-2n+21；
（2）由（1）可知a₁=19，d=-2，
∴S_k=19k+$\frac{k（k-1）}{2}$×（-2）=-21，
解方程可得k=21，或k=-1（舍去）；
∴k=21；
（3）令a_n=-2n+21≥0，解得n≤$\frac{21}{2}$，
∴递减的等差数列{a_n}前10项为正数，从第11项开始为负数，
∴数列的前10项和最大，S₁₀=19×10+$\frac{10×9}{2}$×（-2）=100．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列项的符号，属基础题．