设集合M={1.2.3.-.n}.记M的含有三个元素的子集个数为Sn.同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列.取出中间的数.所有这些中间的数的和记为Tn．(1)求$\frac{{T} {3}}{{S} {3}}$.$\frac{{T} {4}}{{S} {4}}$.$\frac{{T} {5}}{{S} {5}}$.$\frac{{T} {6}}{{S} {6}}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．设集合M={1，2，3，…，n}（n≥3），记M的含有三个元素的子集个数为S_n，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T_n．
（1）求$\frac{{T}_{3}}{{S}_{3}}$，$\frac{{T}_{4}}{{S}_{4}}$，$\frac{{T}_{5}}{{S}_{5}}$，$\frac{{T}_{6}}{{S}_{6}}$的值；
（2）猜想$\frac{{T}_{n}}{{S}_{n}}$的表达式，并证明之．

分析（1）根据所给的定义求出即可，
（2）猜想$\frac{{T}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$．用数学归纳法证明之．

解答解：（1）当n=3时，M={1，2，3），S₃=1，T₃=2，$\frac{{T}_{3}}{{S}_{3}}$=2，
当n=4时，M={1，2，3，4），S₄=4，T₄=2+2+3+3=10，$\frac{{T}_{4}}{{S}_{4}}$=$\frac{5}{2}$，
$\frac{{T}_{5}}{{S}_{5}}$=3，$\frac{{T}_{6}}{{S}_{6}}$=$\frac{7}{2}$
（2）猜想$\frac{{T}_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{n+1}{2}$．
下用数学归纳法证明之．
证明：①当n=3时，由（1）知猜想成立；
②假设当n=k（k≥3）时，猜想成立，
即$\frac{{T}_{k}}{{S}_{k}}$=$\frac{k+1}{2}$，而S_k=C_k³，所以得T_k=$\frac{k+1}{2}$C_k³，
则当n=k+1时，易知S_k+1=C_k+1³，
而当集合M从{1，2，3，…，k}变为{1，2，3，…，k，k+1}时，T_k+1在Tk的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和（k-1）个k，
所以T_k+1=T_k+2×1+3×2+4×3+…+k（k-1），
=$\frac{k+1}{2}$C_k³+2（C₂²+C₃²+C₄²+…+C_k²），
=$\frac{k+1}{2}$C_k³+2（C₃³+C₃²+C₄²+…+C_k²），
=$\frac{k-2}{2}$C_k+1³+2C_k+1³，
=$\frac{k+2}{2}$C_k+1³，
=$\frac{（k+1）+1}{2}$S_k+1，
即$\frac{{T}_{k+1}}{{S}_{k+1}}$=$\frac{（k+1）+1}{2}$．
即所以当n=k+1时，猜想也成立．
综上所述，猜想成立．