Question

【题目】给定函数，若对于定义域中的任意，都有 恒成立，则称函数为“爬坡函数”.

（Ⅰ）证明：函数是“爬坡函数”；

（Ⅱ）若函数是“爬坡函数”，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的实数，函数都不是“爬坡函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】

(1)根据“爬坡函数”的定义，直接利用“作差法”证明恒成立即可；(2)由题意可知，恒成立，利用换元思想，设，则 ,即为,分别讨论对称轴，求出函数的最小值即可；(3)由题意可知，对任意的实数,存在，使得成立，相当于有两不相等的实根，利用二次函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系列不等式可得结果.

（Ⅰ）恒成立

是“爬坡函数”

（Ⅱ）依题意得恒成立，令

即在恒成立

当，即，则只需满足

当，即，则只需满足

综上所述，实数的取值范围为；

（Ⅲ）根据题意可得到，对任意的实数，存在，使得成立

即

恒成立 即.