题目内容
18．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是F，弦AB过点F，且|AB|=8，若AB的倾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，则p的值为（ ）| A． | 1 | B． | 6 | C． | 4 | D． | 3 |
分析 利用绝对值不等式，求出|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，可得AB的倾斜角，设出直线AB的方程，与抛物线联立，利用抛物线的定义及弦长公式建立方程，即可得出结论．
解答 解：由题意，|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|≥|x-1-x+$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，
∵AB的倾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，
∴α=60°，
设过焦点的直线方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
联立抛物线方程，可得3x2-5px+$\frac{3}{4}$p2=0，
∴x1+x2=$\frac{5}{3}$p，x1x2=$\frac{1}{4}$p2，
∴|AB|=x1+x2+p=$\frac{8}{3}$p=8，
∴p=3．
故选D．
点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．
练习册系列答案
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| A． | 四个命题都是真命题 | B． | ①②是全称命题 | ||
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| A． | $\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{3}$ | C． | 2 | D． | 3 |
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