Question

3．在数列{a_n}中，a₁=1，且3a_n+1=1-a_n
（Ⅰ）证明：数列{a_n$-\frac{1}{4}$}是等比数列
（Ⅱ）记b_n=（-1）ⁿ⁺¹n（a_n-$\frac{1}{4}$），求数列{b_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）3a_n+1=1-a_n，可得a_n+1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}（{a}_{n}-\frac{1}{4}）$，${a}_{1}-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，即可证明．
（II）由（I）可得：a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{3}）^{n-1}+\frac{1}{4}$，可得b_n=（-1）ⁿ⁺¹n（a_n-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3n}{4}（\frac{1}{3}）^{n-1}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵3a_n+1=1-a_n，∴a_n+1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{3}（{a}_{n}-\frac{1}{4}）$，${a}_{1}-\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴数列{a_n$-\frac{1}{4}$}是等比数列，公比为$-\frac{1}{3}$，首项为$\frac{3}{4}$．
（II）由（I）可得：a_n=$\frac{3}{4}（-\frac{1}{3}）^{n-1}+\frac{1}{4}$，
∴b_n=（-1）ⁿ⁺¹n（a_n-$\frac{1}{4}$）=$\frac{3n}{4}（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴数列{b_n}前n项和S_n=$\frac{3}{4}$$[1+\frac{2}{3}+\frac{3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n-1}}]$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{3}{4}[\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n-1}}+\frac{n}{{3}^{n}}]$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=$\frac{3}{4}[1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}-\frac{n}{{3}^{n}}]$=$\frac{3}{4}$$[\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{{3}^{n}}]$，
∴S_n=$\frac{27}{16}-\frac{2n+3}{16×{3}^{n-2}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．