题目内容

已知 $数学公式$ =（x²+1，p+2）， $数学公式$ =（3，x）．
（I）当p=8时，若 $数学公式$ $数学公式$ ，求x的值．
（II）若存在唯一的实数x，使 $数学公式$ + $数学公式$ 与 $数学公式$ =（1，2）平行，试求p的值．

解：（I）当p=8时，由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ =（x²+1，10）•（3，x）=3x²+3+10x=0，即（3x+1）（x+3）=0
解得 x=-3，或 x=- $\text{[math]}$ ．
（II）∵ $\text{[math]}$ =（x²+4，p+2+x）， $\text{[math]}$ =（1，2），由 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ =（1，2）平行可得2（x²+4）=p+2+x，即 2x²-x+6-p=0．
由题意可得判别式△=1-8（6-p）=0，解得 p= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）当p=8时，由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ =（x²+1，10）•（3，x）=3x²+3+10x=0，由此求得x的值．
（II）先求出 $\text{[math]}$ 的坐标，再根据 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ =（1，2）平行得到 2x²-x+6-p=0，由判别式△=0求得x的值．
点评：本题主要考查两个向量垂直、共线的性质，数量积公式的应用，属于中档题．