Question

已知f(x)=

x2+(1+p)x+p

2x+p

  (p＞0)
（1）若p＞1时，解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）＞2对2≤x≤4时恒成立，求p的范围．

Answer 1

分析：（1）对函数化简可得，f(x)=

(x+p)(x+1)

2x+p

≥0，要解不等式，需要讨论-

1

2

p与-1的大小，①1＜p＜2②p=2时③p＞2三种情况分别进行求解
（2）由

x2+(1+p)x+p

2x+p

＞2可得x²+（p-3）x-p＞0对2≤x≤4恒成立，即p＞

3x-x2

x-1

=-(x-2)+

2

x-1

 对 2≤x≤4恒成立，只要p＞g（x）_max，结合函数g(x)=-(x-2)+

2

x-1

 在 [2 ，  4]上的单调性可求

解答：解：（1）f(x)=

(x+p)(x+1)

2x+p

≥0
①1＜p＜2 时，解集为 {x|-p≤x≤-1 或 x＞-

p

2

}
②p=2时，解集为{x|x≥-2且x≠-1}
③p＞2时，解集为{x|-p≤x＜-

p

2

 或 x≥-1}
（2）∵

x2+(1+p)x+p

2x+p

＞2x²+（1+p）x+p＞4x+2p
∴x²+（p-3）x-p＞0对2≤x≤4恒成立
∴p＞

3x-x2

x-1

=-(x-2)+

2

x-1

 对 2≤x≤4恒成立
∵g(x)=-(x-2)+

2

x-1

 在 [2 ，  4]上递减
∴g（x）_max=g（2）=2
∴p＞2

点评：本题主要考查了含有参数的不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，函数的恒成立与求解函数的最值的相互转化，注意函数的单调性在求解函数 最值中的应用．