题目内容

13.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知c=1,∠C=$\frac{π}{3}$.
(1)若cos(θ+C)=-$\frac{12}{13}$,0<θ<π,求cosθ的值;
(2)若sinC+sin(A-B)=2sin2B,求△ABC的面积.

分析 (1)利用cos(θ+C)=-$\frac{12}{13}$,0<θ<π,求出sin(θ+C),利用cosθ=cos(θ+C-C),求cosθ的值;
(2)若sinC+sin(A-B)=2sin2B,求出B,即可求△ABC的面积

解答 解:(1)∵0<θ<π,∠C=$\frac{π}{3}$,
∴$\frac{π}{3}$<θ+C<$\frac{4}{3}$π,
∵cos(θ+C)=-$\frac{12}{13}$,
∴sin(θ+C)=±$\frac{5}{13}$,
∴cosθ=cos(θ+C-C)=$\frac{1}{2}$cos(θ+C)+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin(θ+C)=$\frac{-12±5\sqrt{3}}{26}$;
(2)∵sinC+sin(A-B)=2sin2B,
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$+sin($\frac{2π}{3}$-2B)=2sin2B,
∴sin(2B-$\frac{π}{6}$)=$\frac{1}{2}$,
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$,
∴B=$\frac{π}{6}$,
∴A=$\frac{π}{2}$,b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$.

点评 本题考查差角的余弦公式,考查三角形面积的计算,考查辅助角公式的运用,属于中档题.

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