Question

16．设函数f（x）=$\frac{x+m}{x}$（m∈R）．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≥2；
（2）若f（x）≤lnx在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可以转换为二次不等式x（x-1）＜0，利用二次不等式进行求解
（2）把恒成立问题转换为最值问题，求xlnx-x的最小值即可

解答 解：（1）当m=1时，
$\frac{x+1}{x}$≥2，
∴$\frac{x-1}{x}$≤0，
∴x（x-1）≤0 （x≠0），
∴不等式的解集为（0，1]．
（2）$\frac{x+m}{x}≤lnx（x＞0）?m≤xlnx-x$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=xlnx-x，则 g'（x）=lnx，
显然：0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
所以：g（x）_min=g（1）=-1，
所以：m≤-1．

点评 考查了二次不等式和恒成立问题．利用导数判断函数的最值时常考题型，需熟练掌握．