题目内容

11．已知0＜a≤1，0＜b≤1，0＜c≤1，求证：$\frac{1+ab+bc+ca}{a+b+c+abc}$≥1．

分析 由0＜a≤1，0＜b≤1，0＜c≤1，可得1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，运用作差法，由（1+ab+bc+ca）-（a+b+c+abc）因式分解可得（1-a）（1-b）（1-c），即可得证．

解答 证明：由0＜a≤1，0＜b≤1，0＜c≤1，
可得1-a≥0，1-b≥0，1-c≥0，
由（1+ab+bc+ca）-（a+b+c+abc）
=1+ac+b（a+c）-a-c-b（1+ac）
=（1+ac-a-c）+b（a+c-1-ac）
=（1-a）（1-c）+b（a-1）（1-c）
=（1-a）（1-c）（1-b）≥0，
可得1+ab+bc+ca≥a+b+c+abc，
则有$\frac{1+ab+bc+ca}{a+b+c+abc}$≥1．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，注意运用因式分解的方法，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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