Question

已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x，y∈R，f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＞0时，f(x)＜0。（1）求f(0)的值；
（2）讨论f(x)的奇偶性和单调性；
（3）当x＞0时，对于f(x)总有f(1-m)+f(1-m²)＜0，求m的取值范围。

Answer 1

解：（1）取x=y=0，得，
∴。
（2）取y=-x，则，
∴，即为奇函数；
设，则
，
所以，在R上单调递减。
（3）f(1-m)+f(1-m²)＜0，
∵f(0)=0，
∴f(1-m)+f(1-m²)＜f(0)，
∵f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴f(1-m+1-m²)＜f(0)，
∵f(x)在R上单调递减，当x＞0时，对于f(x)总有f(1-m)+f(1-m²)＜0，
∴原不等式的解集等价于，
化简，得，即-1＜m＜1，
∴m的取值范围是（-1，1）。