题目内容

已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(2013)=(  )
A、0B、2013C、3D、-2013
分析:函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称⇒函数y=f(x)的图象关于y轴对称⇒y=f(x)为R上的偶函数,从而可求得f(3)=0,继而得函数y=f(x)是以6为周期的函数,从而可得f(2013)的值.
解答:解:∵函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=0,即y轴对称,
∴y=f(x)为R上的偶函数,又对任意x∈R,均有f(x+6)=f(x)+f(3),
令x=-3得:f(6-3)=f(-3)+f(3)=2f(3),
∴f(3)=0,
∴f(x+6)=f(x),
∴函数y=f(x)是以6为周期的函数,
∴f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=0,
故选:A.
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的奇偶性与周期性的应用,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网