题目内容
已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(2013)=( )
A、0 | B、2013 | C、3 | D、-2013 |
分析:函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称⇒函数y=f(x)的图象关于y轴对称⇒y=f(x)为R上的偶函数,从而可求得f(3)=0,继而得函数y=f(x)是以6为周期的函数,从而可得f(2013)的值.
解答:解:∵函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=0,即y轴对称,
∴y=f(x)为R上的偶函数,又对任意x∈R,均有f(x+6)=f(x)+f(3),
令x=-3得:f(6-3)=f(-3)+f(3)=2f(3),
∴f(3)=0,
∴f(x+6)=f(x),
∴函数y=f(x)是以6为周期的函数,
∴f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=0,
故选:A.
∴函数y=f(x)的图象关于直线x=0,即y轴对称,
∴y=f(x)为R上的偶函数,又对任意x∈R,均有f(x+6)=f(x)+f(3),
令x=-3得:f(6-3)=f(-3)+f(3)=2f(3),
∴f(3)=0,
∴f(x+6)=f(x),
∴函数y=f(x)是以6为周期的函数,
∴f(2013)=f(335×6+3)=f(3)=0,
故选:A.
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查函数的奇偶性与周期性的应用,属于中档题.
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