Question

已知函数

(Ⅰ)若时，函数在其定义域上是增函数，求b的取值范围；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下，设函数求的最小值；

(Ⅲ)设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（I）；（II）(Ⅲ)见解析；

【解析】

试题分析：（1）依题意：∵上是增函数∴对恒成立，又故b的取值范围为（2）设，则，即，这里需分三类讨论第一类第二类第三类（3）设点P、Q的坐标是假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则

，，再通过构造新函数推出矛盾

试题解析：（1）依题意：∵上是增函数，

∴对恒成立， 2分

∴∵ ∴b的取值范围为 4分

（2）设，则，即 5分

∴当即时函数y在[1,2]上为增函数，

当t=1时， 6分

当即时， 7分

当即时，函数y在[1,2]上为减函数，

当t=2时， 8分

综上所述，当时的最小值为b+1

当时的最小值为

当时的最小值为4+2b 9分

（3）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为

C1在M处的切线斜率为 C­2­在点N处的切线斜率

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

即

则

， 12分

设 ①

令则

∵ ∴

所以上单调递增，故 ， 则

这与①矛盾，假设不成立,故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行. 14分

考点：导数的综合应用