Question

8．实数x，y满足$2{cos^2}（x+y-1）=\frac{{{{（x+1）}^2}+{{（y-1）}^2}-2xy}}{x-y+1}$，则xy的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 配方可得2cos²（x+y-1）=$\frac{{（x-y+1）}^{2}+1}{x-y+1}$=（x-y+1）+x-y+1，由基本不等式可得（x-y+1）+x-y+1≤2，或（x-y+1）+x-y+1≤-2，进而可得cos（x+y-1）=±1，x=y=$\frac{kπ+1}{2}$，由此可得xy的表达式，取k=0可得最值．

解答 解：∵$2{cos^2}（x+y-1）=\frac{{{{（x+1）}^2}+{{（y-1）}^2}-2xy}}{x-y+1}$，
∴2cos²（x+y-1）=$\frac{{x}^{2}+2x+1+{y}^{2}-2y+1-2xy}{x-y+1}$
∴2cos²（x+y-1）=$\frac{{（x-y+1）}^{2}+1}{x-y+1}$，
故2cos²（x+y-1）=x-y+1+$\frac{1}{x-y+1}$，
由基本不等式可得（x-y+1）+$\frac{1}{x-y+1}$≥2，或（x-y+1）+$\frac{1}{x-y+1}$≤-2，
∴2cos²（x+y-1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos²（x+y-1）=2，
故cos²（x+y-1）=1，即cos（x+y-1）=±1，此时x-y+1=1，
即x=y，
∴x+y-1=kπ，k∈Z，故x+y=2x=kπ+1，解得x=$\frac{kπ+1}{2}$，
故xy=x•x=（$\frac{kπ+1}{2}$）²，
当k=0时，xy的最小值$\frac{1}{4}$，
故选：B

点评 本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos（x+y-1）=±1是解决问题的关键，属中档题