Question

16．已知圆C经过A（1，1），B（0，2）两点，并且圆心C在直线2x-y=0上．
（1）求该圆的方程
（2）求该圆过点（2，4）的切线方程．

Answer 1

分析 （1）设圆C的圆心坐标为C（a，2a），由圆C经过A（1，1），B（0，2）两点，可得|CA|²=|CB|²，即 （a-1）²+（2a-1）²=（a-0）²+（2a-2）²．求得a的值，即可求得圆心坐标和半径，从而求得圆C的方程．
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求该圆过点（2，4）的切线方程．

解答 解：（1）由于圆心在直线2x-y=0上，故可设圆C的圆心坐标为C（a，2a）．
再由圆C经过A（1，1），B（0，2）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，∴（a-1）²+（2a-1）²=（a-0）²+（2a-2）²．
解得a=1，故圆心C（1，2），半径r=1，
故圆C的方程为 （x-1）²+（y-2）²=1；
（2）直线的斜率不存在时，x=2，满足题意；
直线的斜率存在时，设方程为y-4=k（x-2），即kx-y-2k+4=0，
圆心（1，2）到直线的距离d=$\frac{|2-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴切线方程为y-4=$\frac{3}{4}$（x-2），即3x-4y+10=0．
综上所述，切线方程为3x-4y+10=0或x=2．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．