Question

在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF．

（Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；

（Ⅱ）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）证明：连结OF、CE、A′O.如图 ∵AE＝BF  ∴EB＝CF  OC＝CB  ∠OCF＝∠CBE ∴△OCF≌△CEB  ∴∠ECB＝∠FOC， ∴OF⊥CE 又∵CC′⊥平面AC  CE⊥OF  ∴C′E⊥OF 又∵EB⊥平面BC′，C′B⊥B′C  ∴C′E⊥B′C 又∵A′O∥B′C  ∴C′E⊥A′O 又∵A′O∩OF＝O  C′E⊥A′O  C′E⊥OF ∴A′O⊥平面A′CO  A′F平面A′CO  ∴A′F⊥C′E （Ⅱ）解：设EB＝y，BF＝x，边长为a，则x＋y＝a，三棱锥B′—BEF的体积 当且仅当x＝y＝时等号成立. 因此，三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时BE＝BF＝. 过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF ∴∠B′DB是二面角B′—EF—B的平面角 在Rt△BEF中，直角边BE＝BF＝，BD是斜边上的高. ∴BD＝a，tanB′DB＝ ∴二面角B′—EF—B的大小为arctan2