Question

（2001•上海）在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的大小．（结果用反三角函数表示）

Answer 1

分析：（I）以O为原点建立空间直角坐标系，AE=BF=x，验证

A′F

•

C′E

=0，即可证明A′F⊥C′E；
（Ⅱ）利用基本不等式，确定三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，BE=BF=

a

2

，过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF，从而∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角，即可求出二面角B′-EF-B的大小．

解答：（I）证明：如图，以O为原点建立空间直角坐标系．
设AE=BF=x，则A′（a，0，a）、F（a-x，a，0）、C′（0，a，a）、E（a，x，0）
∴

A′F

={-x，a，-a}，

C′E

={a，x-a，-a}．…（4分）
∵

A′F

•

C′E

=-xa+a(x-a)+a2=0，
∴A′F⊥C′E．
（II）解：记BF=x，BE=y，则x+y=a，
三棱锥B′-BEF的体积V=

1

6

xya≤

a

6

(

x+y

2

)2=

1

24

a3，
当且仅当x=y=

a

2

时，等号成立．
因此，三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，BE=BF=

a

2

．…（10分）
过B作BD⊥EF交EF于D，连B′D，可知B′D⊥EF．
∴∠B′DB是二面角B′-EF-B的平面角．
在直角三角形BEF中，直角边BE=BF=

a

2

，BD是斜边上的高，
∴BD=

2

4

a，tan∠B′DB=

B′B

BD

=2

2

，
故二面角B′-EF-B的大小为arctan2

2

．…（14分）

点评：本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题．