Question

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A₁与A点关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为，试求k的值及此时B点的坐标.

Answer 1

(1) x²－y²=2， (2) B(2,)

(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.
即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，).
∴a==b,所求双曲线C的方程为x²－y²=2.
(2)设直线l: y=k(x－)(0＜k＜1,
依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为.
设直线l′:y=kx+m,应有,
化简得m²+2km=2                          ②
把l′代入双曲线方程得(k²－1)x²+2mkx+m²－2=0,
由Δ=4m²k²－4(k²－1)(m²－2)=0 
可得m²+2k²="2                                 " ③
②、③两式相减得k=m,代入③得m²=,解得m=,k=,
此时x=,y= 故B(2,).