Question

椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

 解析：（1），由题设可知，得

                                                 ①  ………1分

又点P在椭圆C上，                          ②

                                     ③  ………3分

①③联立解得，                            ………4分

故所求椭圆的方程为                         ………5分

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，

整理得                             （﹡）

方程（﹡）有且只有一个实根，又，

所以得                              _{………8分}

假设存在满足题设，则由

对任意的实数恒成立,

所以，   解得，

当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.

总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.…12分

【思路点拨】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得⇒a²=2②，又b²+c²=a²=2③，①③联立解得c，b²，即可得解．

（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由得，假设存在满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由 即可求出这两个定点的坐标．