题目内容

已知实数x满足4^x-10•2^x+16≤0，求函数 $数学公式$ 的值域．

解：由题意知：4^x-10•2^x+16≤0，解得2≤2^x≤8，
∴1≤x≤3，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令t=log₃x，则t∈[0，1]，
∴y=t²- $\text{[math]}$ t+2=（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，t∈[0，1]，
∴当t= $\text{[math]}$ 时，y_min= $\text{[math]}$ ，
当t=1时，y_max= $\text{[math]}$ ，
∴f（x）的值域是 $\text{[math]}$ ．
分析：把“指数2^x”作为一个整体，求不等式（2^x）²-10•2^x+16≤0的解集，即可求出log₃x的范围，利用换元法化简函数的解析式为y=t²- $\text{[math]}$ t+2，转化为二次函数利用配方法即可求出函数的值域．
点评：本题考查了求指数型的不等式和对数型复合函数的值域，把“对数log₃x”作为一个整体，求它的范围，利用对数的运算把函数转化为关于它的二次函数，利用二次函数的性质求函数的值域，考查了整体思想和转化思想，属中档题．