Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点且圆心在曲线上.

（1）求圆面积的最小值；

（2）设直线与圆交于不同的两点、，且，求圆的方程；

（3）设直线与（2）中所求圆交于点、，为直线上的动点，直线，与圆的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）证明见解析；

【解析】

（1）由题意设圆心为，半径，利用基本不等式求出半径的最小值，从而得到面积的最小值；

（2）由，知，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，解方程可得，讨论的取值，求得圆心到直线的距离的距离，即可得到所求圆的方程；

（3）设，，，求得，的坐标，和的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，．设，则．设直线的方程为，代入圆的方程，运用韦达定理，可得，的关系，即可得到所求定点．

解：（1）由题意可设圆的圆心为，

则半径为（当且仅当时取等号），

所以圆的面积最小值为.

（2）由，知.

所以，解得.

当时，圆心到直线的距离小于半径，符合题意；

当时，圆心到直线的距离大于半径，不符合题意.

所以，所求圆的方程为.

（3）设，，，又知，，

所以，．

显然，设，则．

从而直线方程为：，

与圆的方程联立，

消去，可得：，

所以，，即；

同理直线方程为：，

与圆的方程联立，

消去，可得：，

所以，，即．

所以；

．

消去参数整理得． ①

设直线的方程为，代入，

整理得．

所以，．

代入①式，并整理得，

即，解得或．

当时，直线的方程为，过定点；

当时，直线的方程为，过定点

第二种情况不合题意（因为，在直径的异侧），舍去．

所以，直线过定点．