题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）当a=4，解不等式f（x）＞3x；
（2）若函数g（x）=f（2^x）是奇函数，求a的值；
（3）若不等式f（x）＜x在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）当a=4时，不等式 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，
∴原不等式的解集为 $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ ，∵g（x）是奇函数，∴g（-x）+g（x）=0恒成立．
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，∴a=1．
（3）f（x）＜x在x∈[0，+∞）上恒成立 $\text{[math]}$ 上恒成立，
设 $\text{[math]}$ ，则只需a＜h（x）_min．
∵x≥0，∴x+1≥1，∴ $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ ，
∴a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当a=4时，把要解得不等式等价转化为 $\text{[math]}$ ，由此求得不等式f（x）＞3x的解集．
（2）由g（x）是奇函数，可得g（-x）+g（x）=0恒成，化简可得 $\text{[math]}$ ，从而求得a的值．
（3）由题意可得 $\text{[math]}$ 上恒成立，设 $\text{[math]}$ ，利用基本不等式求得 $\text{[math]}$ ，从而得到a的取值范围．
点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的奇偶性的应用以及函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，
属于中档题．