Question

【题目】已知自变量为的函数.其中，为自然对数的底，.

（Ⅰ）求函数与的单调区间，并且讨论函数的单调性;

（Ⅱ）已知，求证：

（ⅰ）方程有两个根，；

（ⅱ）若（ⅰ）中的两个根满足，，则，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为；增区间为，见解析（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）分别求得，的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，进而得到最值，可得单调区间；讨论为奇数和偶数，即可得到所求单调性；

（Ⅱ），（ⅰ）运用为奇数的函数的单调性，结合图象即可得证；

（ⅱ）为奇数时，在递减，在递增，且越小，函数的图象与直线的交点越靠近轴，即可得证．

解：（Ⅰ）的导数为

，由时；由时；

可得的增区间为，减区间为；

的导数为

，，

可得，

可得的增区间为；

经过次导数可得，

由，在时，；时；

则次求导时，导函数在递增；递减，

即有导函数的最小值为0，

可得为奇数，在递减，在递增；

为偶数时，在递增；

（Ⅱ）证明：，（ⅰ）由为奇数，在递减，

在递增；可得，有最小值0，无最大值，

则方程有两个根，；

（ⅱ）若（ⅰ）中的两个根满足，，

由于为奇数时，在递减，在递增，

且越小，函数的图象与直线的交点越靠近轴，

则，．