题目内容
【题目】已知双曲线的两顶点分别为
,
为双曲线的一个焦点,
为虚轴的一个端点,若在线段
上(不含端点)存在两点
,使得
,则双曲线的渐近线斜率
的平方的取值范围是( )
A.B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
根据题意可知,若在线段上(不含端点)存在两点
,使得
,则以
为直径的圆与直线
相交,利用直线与圆的位置关系和点到直线距离公式求解.
双曲线的两顶点分别为
,
为双曲线的一个焦点,
为虚轴的一个端点,
则可得,
则直线的方程为
若在线段上(不含端点)存在两点
,使得
,
则以为直径的圆与直线
相交,
圆的方程和半径分别为 ,
所以满足圆心到直线的距离小于半径,即
,
化简可得 ,
又因为,代入上式化简可得
,
将不等式两边同时除以可得
,
令,上述不等式可化为
令解得
,
(舍),
所以的解集为
,即
,
因为两个交点位于线段上(不含端点),
所以,即
,
综上可知,
故选:A.
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