如图.将抛物线C1:y=$\frac{1}{2}$x2+2x沿x轴对称后.向右平移3个单位.再向下平移5个单位.得到抛物线C2.若抛物线C1的顶点为A.点P是抛物线C2上一点.则△POA的面积的最小值为( )A．3B．3.5C．4D．4.5 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，将抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²+2x沿x轴对称后，向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线C₂，若抛物线C₁的顶点为A，点P是抛物线C₂上一点，则△POA的面积的最小值为（　　）

A．

B．

3.5

C．

D．

4.5

分析根据函数图象变换规律得出C₂的解析式，求出直线OA的方程，则C₂的切线斜率与直线OA的斜率相等时，C₂上的点到直线OA的距离最短的点为切点，求出切点坐标，得出到OA的距离即可求出三角形的面积．

解答解：将C₁沿x轴对称后得到y=-$\frac{1}{2}$x²-2x，然后向右平移3个单位，再向下平移5个单位得到C₂：y=-$\frac{1}{2}$（x-3）²-2（x-3）-5=-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{7}{2}$．
∵A=（-2，-2），∴直线OA的方程为y=x．
设C₂的斜率为1的切线方程为y=x+k，切点坐标为（x₀，y₀）则$\left\{\begin{array}{l}{-{x}_{0}+1=1}\\{{y}_{0}={x}_{0}+k}\\{{y}_{0}=-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+{x}_{0}-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解得x₀=0，y₀=-$\frac{7}{2}$．k=-$\frac{7}{2}$．
∴当P点为（0，-$\frac{7}{2}$）时，P到直线OA的距离最短，最短距离为d=$\frac{|-\frac{7}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$．
又OA=2$\sqrt{2}$，∴△POA的面积的最小值为$\frac{1}{2}$OA•d=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{7\sqrt{2}}{4}=3.5$．
故选B．

点评本题考查了函数图象的变换，导数的几何意义，距离公式的应用，属于中档题．

练习册系列答案

16．（1）已知p³+q³=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2，
（2）已知a，b∈R，|a|+|b|＜1，求证方程x²+ax+b=0的两根的绝对值都小于1．
用反证法证明时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1．以下结论正确的是（　　）

	A．	（1）与（2）的假设都错误		B．	（1）与（2）的假设都正确
	C．	（1）的假设错误；（2）的假设正确		D．	（1）的假设正确；（2）的假设错误

13．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=$\frac{b}{a}$x的垂线，垂足为A，交C的左支于B点，若$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{OB}$=2$\overrightarrow{OA}$，则C的离心率为（　　）

20．已知点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）是等轴双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1上一点，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与双曲线C的一个焦点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点P是抛物线上的动点，点A，B在x轴上，圆x²+（y-1）²=1内切于△PAB，求△PAB面积的最小值．