Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF．若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，则C的离心率为$\frac{5}{7}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用余弦定理求出|AF|，可得则四边形AFBF′为矩形，结合椭圆的对称性求得a，c的值，则椭圆的离心率可求．

解答 解：由题意画出图形，

在△AFB中，由|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
结合余弦定理可得|AF|=6，∴有|AF|²+|BF|²=|AB|²，
则三角形AFB为Rt△，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′为矩形，
∴2a=6+8=14，2c=10，则a=7，c=5．
∴C的离心率为$\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，关键是注意椭圆对称性的应用，是中档题．