Question

5．已知直线l交抛物线y²=3x于A、B两点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0（O是坐标原点），设l交x轴于点F，F′、F分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点．若双曲线的右支上存在一点P，使得|$\overrightarrow{PF′}$|=2|$\overrightarrow{PF}$|，则a的取值范围是[1，3）．

Answer 1

分析 确定直线过定点（3，0），可得F的坐标，由双曲线的定义，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而a的取值范围．

解答 解：设点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
设直线方程为x=my+b，
联立方程，消去x得y²-3my-3b=0，
则y₁y₂=-3b，x₁x₂=b²，
又$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，则x₁x₂+y₁y₂=0，
即-3b+b²=0，
解得b=0（舍去）或b=3，
故直线过定点（3，0），
∴F（3，0），
∵|$\overrightarrow{PF′}$|=2|$\overrightarrow{PF}$|，
∴由双曲线的定义可得|$\overrightarrow{PF′}$|-|$\overrightarrow{PF}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=2a，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF|≥c-a，
∴2a≥c-a，∴a≥1，
∵$\frac{c}{a}＞1$，∴a＜3，
∴a的取值范围是[1，3），
故答案为[1，3）．

点评 本题考查向量垂直的条件，同时考查直线与抛物线的位置关系，以及证明直线恒过定点，双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．