Question

已知函数，设

（1）求函数的单调区间

（2）若以函数图象上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值

（3）是否存在实数，使得函数的图象与函数的图象恰有四个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), ==

      ∵a>0,由F^F'(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函数.

      由F^F'(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是减函数.

      ∴F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).

     （Ⅱ）由F^F'(x)= （0<x≤3）得

      k= F^F'(x₀)= ≤（0<x₀≤3）恒成立Ûa≥-x₀²+x₀恒成立.

     ∵当x₀=1时，-x₀²+x₀取得最大值

     ∴a≥,a的最小值为.

   （Ⅲ）若y=g()+m-1=x²+m-的图像与y=f(1+x²)=ln(x²+1)的图像恰有四个不同交点，即x²+m-=ln(x²+1)有四个不同的根，亦即m=ln(x²+1)-x²+有四个不同的根.令= ln(x²+1)-x²+.

则G^F'(x)=-x==

当x变化时G^F'(x)、G（x）的变化情况如下表：

	（-¥，-1）	（-1,0）	（0,1）	（1，+¥）
GF'(x)的符号	+	-	+	-
G（x）的单调性	↗	↘	↗	↘