题目内容
已知
+
=1，求证
+
=1．
| cos4α |
| cos2β |
| sin4α |
| sin2β |
| cos4β |
| cos2α |
| sin4β |
| sin2α |
分析：对所给的式子化为整式，再利用平方关系将cos4α表示成（1-sin2α）2，展开后再利用平方关系合并、化简，最后利用完全平方公式化简，求出关系式后，再由平方关系，代入所要证明的等式左边化简即可．
解答：解：由
+
=1得，
cos4αsin2β+sin4αcos2β=cos2βsin2β，
∴（1-sin2α）2sin2β+sin4αcos2β-cos2βsin2β=0
（1-2sin2α+sin4α）sin2β+sin4αcos2β-cos2βsin2β=0
sin2β-2sin2αsin2β+sin4αsin2β+sin4αcos2β-cos2βsin2β=0
sin2β（1-cos2β）-2sin2αsin2β+sin4α（sin2β+cos2β）=0，
即sin4β-2sin2αsin2β+sin4α=0，
则（sin2β-sin2α）2=0，
得sin2β=sin2α，
再由平方关系得，cos2β=cos2α，
代入
+
得cos2β+sin2β=1，
即
+
=1．
| cos4α |
| cos2β |
| sin4α |
| sin2β |
cos4αsin2β+sin4αcos2β=cos2βsin2β，
∴（1-sin2α）2sin2β+sin4αcos2β-cos2βsin2β=0
（1-2sin2α+sin4α）sin2β+sin4αcos2β-cos2βsin2β=0
sin2β-2sin2αsin2β+sin4αsin2β+sin4αcos2β-cos2βsin2β=0
sin2β（1-cos2β）-2sin2αsin2β+sin4α（sin2β+cos2β）=0，
即sin4β-2sin2αsin2β+sin4α=0，
则（sin2β-sin2α）2=0，
得sin2β=sin2α，
再由平方关系得，cos2β=cos2α，
代入
| cos4β |
| cos2α |
| sin4β |
| sin2α |
即
| cos4β |
| cos2α |
| sin4β |
| sin2α |
点评：本题是三角恒等变换的综合题，主要考查了同角的平方关系的应用，化简比较复杂，次数很高，注意降幂的方法，很多学生入手很难，难度较大，需要足够的耐心．
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