Question

已知sinθ+cosθ=

1

5

，θ∈(

π

2

，π)，
求（1）sinθ-cosθ
（2）sin³θ-cos³θ
（3）sin⁴θ+cos⁴θ

Answer 1

分析：（1）由 sinθ+cosθ=

1

5

，平方可得  sinθcosθ 的值，由sinθ-cosθ=

(sinθ-cosθ)2

=

1-2sinθcosθ

 求出结果．
（2）由 立方差公式得 sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ ），运算得到结果．
（3）根据 sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2 sin²θ•cos²θ，求出结果．

解答：解：（1）∵sinθ+cosθ=

1

5

，平方可得  sinθcosθ=-

12

25

，
∴sinθ-cosθ=

(sinθ-cosθ)2

=

1-2sinθcosθ

=

7

5

．
（2）sin³θ-cos³θ=（sinθ-cosθ ）（sin²θ+sinθcosθ+cos²θ ）=

7

5

 （1+

12

25

）=

91

125

．
（3）sin⁴θ+cos⁴θ=（sin²θ+cos²θ）²-2 sin²θ•cos²θ=1-2（

144

625

）=

337

625

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，求出sinθcosθ=-

12

25

，是解题的关键．