Question

数列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₄，a₅；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设b_n=log₂S_n，存在数列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，试求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）当n=1时，有a₁=a₂；当n=2时，有a₁+a₂=a₃；…
∵a₃=1，
∴a₁=

1

2

，a₂=

1

2

，a₄=2，a₅=4．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，…（6分）
∴2S_n=S_n+1
∴

Sn+1

Sn

=2…（8分）
∴{S_n}是首项为S₁=a₁=

1

2

，公比为2的等比数列．
∴S_n=

1

2

•2^n-1=2^n-2…（10分）
（Ⅲ）由S_n=2^n-2，得b_n=n-2，
∴b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∵c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，
∴c_n•（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）2^n-2，
即c_n=n•2^n-2．  …（12分）
T_n=1×2^-1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n•2^n-2…①
则2T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1…②
②一①得
T_n=n•2^n-1-2^-1-2⁰-2¹-…-2^n-2=n•2^n-1-

2-1(1-2n)

1-2

=n•2^n-1+

1

2

．…（14分）