Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是、，直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）若直线经过点，与轨迹有且仅有一个公共点，求直线的方程．

Answer 1

（1），其中；（2）直线的方程为或或

【解析】

试题分析：（1）设M（，）是轨迹上任意一点，根据题意，由斜率公式列出直线AM、BM的表达式，由题，化简可得化简得轨迹方程为，特别注意

（2）由题意显然所求直线存在斜率，设：，根据（1）点A、B不在轨迹上，所以直线经过点A、B时，与与轨迹有且仅有一个公共点，故分三种情况①当直线经过A点时，；②当直线经过B点时③当点P为切点时，可得三条直线满足题意

试题解析：（1）设M（，）是轨迹上任意一点，，

依题意，

整理化简得轨迹方程为，其中

（2）显然所求直线存在斜率，设：

①当直线经过A点时，，代入得

②当直线经过B点时，，代入得

③当点P为切点时，由得

解得

代入得，综上所述，直线的方程为或或

考点：椭圆方程，直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系