Question

10．“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙、图丙的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

Answer 1

分析 由图甲可得，S=$\frac{1}{2}$absin（90°-α+β）=$\frac{1}{2}$abcos（α-β）．图乙与图丙的面积和为$\frac{1}{2}$abcosαcosβ+$\frac{1}{2}$absinαsinβ，即可得出结论．

解答 解：由图甲可得，S=$\frac{1}{2}$absin（90°-α+β）=$\frac{1}{2}$abcos（α-β）．
图乙与图丙的面积和为$\frac{1}{2}$abcosαcosβ+$\frac{1}{2}$absinαsinβ，
∴$\frac{1}{2}$abcos（α-β）=$\frac{1}{2}$abcosαcosβ+$\frac{1}{2}$absinαsinβ，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
故答案为：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

点评 本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中档题．