题目内容
（2013•枣庄二模）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为
，则函数g(x)=f(x)-
在区间[0，5π）内零点的个数为（ ）
| 4+π2 |
| 1 |
| 2 |
分析：由条件求得φ和ω的值，可得函数f（x）=-cosx，令g（x）=0，可得 f（x）=
，即 cosx=-
，由此求得 x 的解析式，再由x∈[0，5π），求得g（x）在区间[0，5π）内零点的个数．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）为偶函数，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为
，最大值为1．
设图象上最高点为（x1，1），与之相邻的最低点为（x2，-1），则|x2-x1|=
=
．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为
=
，解得ω=1，
∴函数f（x）=-cosx．
令g（x）=0，可得 f（x）=
，即 cosx=-
，∴x=2kπ+
，或 x=2kπ+
，k∈z．
再由x∈[0，5π），可得 x=
、
、
、
、
，故函数g（x）的零点有5个，
故选C．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为
| 2π |
| ω |
设图象上最高点为（x1，1），与之相邻的最低点为（x2，-1），则|x2-x1|=
| T |
| 2 |
| π |
| ω |
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为
| 4+π2 |
(
|
∴函数f（x）=-cosx．
令g（x）=0，可得 f（x）=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
再由x∈[0，5π），可得 x=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 8π |
| 3 |
| 10π |
| 3 |
| 14π |
| 3 |
故选C．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，求函数的零点，属于中档题．
练习册系列答案
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