Question

【题目】已知函数f（x）=（a∈R）．

（Ⅰ）若f（1）=2，求函数y=f（x）-2x在[，2]上的值域；

（Ⅱ）当a∈（0，）时，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）[-，]（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意，由f（1）=2可得，解可得a的值，即可得y=f（x）-2x的解析式，设g（x）=-x，分析易得g（x）在[，2]上为减函数，据此分析函数g（x）的最值，即可得答案；

（Ⅱ）设0＜x1＜x2≤1，由作差法分析，即可得答案．

（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=，

若f（1）=2，则=2，解可得a=，则f（x）==x+，

则y=f（x）-2x=-x，设g（x）=-x，分析易得g（x）在[，2]上为减函数，

且g（）=2-=，g（2）=-2=-；

故y=f（x）-2x在[，2]上的值域为[-，]；

（Ⅱ）f（x）==2ax+，当a∈（0，）时，在（0，1]上为减函数，

证明：设0＜x1＜x2≤1，

f（x1）-f（x2）=（2ax1+）-（2ax2+）=（2ax1x2-1），

又由a∈（0，）且0＜x1＜x2≤1，

则（x1-x2）＜0，（2ax1x2-1）＜0，

则f（x1）-f（x2）＞0，

即函数f（x）在（0，1]上为减函数．