题目内容

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点是（$\sqrt{3}$，0），点P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在椭圆上，O为坐标原点，当直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆C相交于A、B两点时，对满足条件的任意m的值，都有|OA|2+|OB|2=5．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求△AOB的面积S的最大值，并求出相应m的值．

分析 （1）由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a2-b2=3，将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，由基本不等式可得最大值，及等号成立的条件，代入判别式和条件，检验即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得c=$\sqrt{3}$，即a2-b2=3，
P的坐标代入椭圆方程可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，m≠0，
O到直线AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
将直线y=kx+m代入椭圆方程，可得
（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
由判别式64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）＞0，
化简得1+4k2-m2＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得
x1+x2=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
即有△MNP面积为$\frac{1}{2}$d•|AB|=2•|m|•$\frac{\sqrt{1+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$=2•$\frac{\sqrt{{m}^{2}（1+4{k}^{2}-{m}^{2}）}}{1+4{k}^{2}}$≤2•$\frac{{m}^{2}+1+4{k}^{2}-{m}^{2}}{2}$•$\frac{1}{1+4{k}^{2}}$=1，
当且仅当m2=1+4k2-m2，即1+4k2=2m2取得最大值1，
由1+4k2=2m2代入判别式大于0成立；
可得x1+x2=-$\frac{4k}{m}$，x1x2=2-$\frac{2}{{m}^{2}}$，
由y1=kx1+m，y2=kx2+m，
可得|OA|2+|OB|2=x12+y12+x22+y22=（1+k2）[（x1+x2）2-2x1x2]+2m2+2km（x1+x2）=5，
即有（1+k2）[（-$\frac{4k}{m}$）2-2（2-$\frac{2}{{m}^{2}}$）]+2m2+2km（-$\frac{4k}{m}$）=4-4k2+2m2=4+1=5．
则1+4k2=2m2恒成立．
故当m=±$\sqrt{\frac{1+4{k}^{2}}{2}}$时，△OAB的面积取得最大值1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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