Question

【题目】设点为圆上的动点，点在轴上的投影为，动点满足，动点的轨迹为.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设的左顶点为，若直线与曲线交于两点，（，不是左右顶点），且满足，求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程；

（2）由向量条件结合矩形对角线相等可得DA，DB垂直，斜率之积为﹣1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．

（Ⅰ）设点，，由题意可知

∵，∴，

即，

又点在圆上 ∴

代入得

即轨迹的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，

联立 得

即，

∴

又

∵ ∴ 即

即

∴

∴

解得，，且均满足即

当时，的方程为，直线恒过，与已知矛盾；

当，的方程为，直线恒过

所以，直线过定点，定点坐标为.