Question

【题目】已知直线上有一动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知定点，，为曲线上一点，直线交曲线于另一点，且点在线段上，直线交曲线于另一点，求的内切圆半径的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1 )设点的坐标为 ，结合题意得出点的坐标，再利用可得出点的轨迹方程；(2)设 ，设直线的方程为 ，将该直线方程与曲线的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点，和点的横坐标相等,于是得出轴，根据几何性质得出的内切圆圆心在轴上，且该点与切点的连线与垂直，计算出的面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式，通过化简得到关于的函数表达式，并换元，将函数关系式转化为关于的函数关系式，然后利用单调性可求出的取值范围.

（1）设点，则，

所以，.

因为，

所以，即.

（2）设，，，直线与轴交点为，直线与内切圆的切点为.

设直线的方程为，则联立方程组得，

所以且，所以，

所以直线的方程为，

与方程联立得，

化简得，解得或.

因为，

所以轴，

设的内切圆圆心为，则点在轴上且.

，且的周长，

，

，

令，则，

所以在区间上单调递增，则，

即的取值范围为.