Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣ ）= ．
（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；
（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB= ，求△OAB的面积最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆； 直线l的直角坐标方程为
由直线l与圆C只有一个公共点，则可得
解得：a=﹣3（舍）或a=1
所以：a=1．
（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）
设A的极角为θ，B的极角为
则： = =
∵cos =
所以当 时， 取得最大值
∴△OAB的面积最大值为 ．
解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且
由正弦定理得： ，所以|AB=
由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|
则： ≤ × = ．
∴△OAB的面积最大值为
【解析】（Ⅰ）根据sin2β+cos2β=1消去β为参数可得曲线C的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 直线l的极坐标方程化为普通方程，曲线C与l只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，可得a的值． （Ⅱ）利用极坐标方程的几何意义求解即可．