Question

某同学为研究函数0＜x＜1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数的极值点是    ，函数的值域是    ．

Answer 1

【答案】分析：分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=+．运动点P，可得A、P、B三点共线时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值．由此即可推知函数的极值点及函数f（x）的值域．
解答：解：Rt△PCF中，PF==
同理可得，Rt△PAB中，PA=
∴PA+PF=+．
从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，
在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，
∵当点P在BC的中点上时，即A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，
PA+PF取得最小值 =，
当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值 +1．
∴≤PA+PF≤+1，可得函数的极值点是 ；
函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．
故答案为：；[，]．
点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题．