Question

某同学为研究函数f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)0＜x＜1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是

[

2

+1，

5

]

．

Answer 1

分析：分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．运动点P，可得A、P、B三点共线时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值．由此即可得到函数f（x）的值域．

解答：解：Rt△PCF中，PF=

CP2+CF2

=

1+x2

同理可得，Rt△PAB中，PA=

1+(1-x)2

∴PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，PA+PF取得最小值

AE2+EF2

=

5

当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值

2

+1
∴

5

≤PA+PF≤

2

+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[

5

，

2

+1]．
故答案为：[

5

，

2

+1]．

点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题．