Question

（2012•海淀区二模）某同学为研究函数f(x)=

1+x2

+

1+(1-x)2

(0≤x≤1)0＜x＜1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数的极值点是

1

2

，函数的值域是

[

5

，

2

+1]

．

Answer 1

分析：分别在Rt△PCF和Rt△PAB中利用勾股定理，得PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．运动点P，可得A、P、B三点共线时，PA+PF取得最小值；当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值．由此即可推知函数的极值点及函数f（x）的值域．

解答：解：Rt△PCF中，PF=

CP2

+CF2=

1+x2

同理可得，Rt△PAB中，PA=

1+(1-x)2

∴PA+PF=

1+x2

+

1+(1-x)2

．
从运动的观点看，当点P从C点向点B运动的过程中，
在运动到BC的中点之前，PA+PF的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，
∵当点P在BC的中点上时，即A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，
PA+PF取得最小值

AE2+EF2

=

5

，
当P在点B或点C时，PA+PF取得最大值

2

+1．
∴

5

≤PA+PF≤

2

+1，可得函数的极值点是

1

2

；
函数f（x）=AP+PF的值域为[

5

，

2

+1]．
故答案为：

1

2

；[

5

，

2

+1]．

点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题．