已知F1.F2分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点.以原点O为圆心.OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A.B两点.若△F2AB是等边三角形.则椭圆的离心率等于( )A．$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1B．$\sqrt{3}$-1C．$\sqrt{3}$+1D．2-$\sqrt{3} 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

16．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以原点O为圆心，OF₁为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A，B两点，若△F₂AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于（　　）

A．

$\sqrt{3}$-1或$\sqrt{3}$+1

B．

$\sqrt{3}$-1

C．

$\sqrt{3}$+1

D．

2-$\sqrt{3}$

分析如图所示，由△F₂AB是等边三角形，可得∠AF₂F₁=30^°．在RT△AF₁F₂中，|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c．再利用椭圆的定义即可得出．

解答解：如图所示，
由△F₂AB是等边三角形，∴∠AF₂F₁=30^°．
在RT△AF₁F₂中，|AF₁|=c，|AF₂|=$\sqrt{3}$c．
∴c+$\sqrt{3}$c=2a．可得：$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$-1．
故选：B．

点评本题考查了椭圆的定义与对称性、等边三角形的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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