Question

已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过焦点斜率为的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，试求点到轴的距离；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）依题设，，则，.

由，解得，所以.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）依题直线的方程为.

由得.

设,,弦的中点为，

则，，，，

所以.

直线的方程为，

令，得，则.

若四边形为菱形，则，.

所以.

若点在椭圆上，则.

整理得，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.

此时点到的距离为.