Question

设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知向量

m

=（b，cosB），

n

=（2a-c，cosC），已知

m

与

n

共线．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x-B）+sinx的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量平行的坐标表示列式，然后通过三角运算化简求出角B的余弦值，则答案可求；
（Ⅱ）把角B的值代入f（x）=sin（x-B）+sinx，利用两角差的正弦公式展开，化积后根据角的范围求函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

∥

n

，∴bcosC=（2a-c）cosB
由正弦定理，得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB．
即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB．
∵sin（B+C）=sinA≠0，则2cosB=1，即cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，则f(x)=sin(x-

π

3

)+sinx=sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

+sinx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

sin(x-

π

6

)．
由x∈[0，π），则-

π

6

≤x-

π

6

＜

5π

6

，∴sin(x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]．
故函数f（x）的值域是[-

3

2

，

3

]．

点评：本题考查了平行向量与共线向量，考查了两角和与差的三角函数，训练了三角函数的求值，属中档题型．