Question

如图，等腰直角三角形ABC的斜边AB在轴上，原点O为AB的中点，，D是OC的中点．以A、B为焦点的椭圆E经过点D．

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点C的直线与椭圆E相交于不同的两点M、N，点M在点C、N之间，且，求的取值范围．

Answer 1

（1椭圆E的方程为．（2）．

解析:

（1）在等腰直角三角形ABC中，因为斜边，

所以．所以椭圆的半焦距．

 因为D是OC的中点，所以椭圆的短半轴长，

所以椭圆的长半轴长． 

所以椭圆E的方程为．

(2)设，，则， ．

由，得．所以 ①

因为点，都在椭圆上，所以②　将①代入②得，

消去，得．

所以．根据题意，得，所以．

 解得．③ 

因为点M在点C、N两点之间，，所以，④ 

 根据③、④，得。