Question

如图，等腰直角三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，SA=SB=

2

且AB∥CD，DA⊥AB，AD=2，CD=4，E、F分别是线段SC、CD的中点．
（I）求证：平面BEF∥平面SAD；
（Ⅱ）求二面角S-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的性质和面面平行的判定定理即可得出；
（II）取AB的中点H，连接SH，则SH⊥AB，利用面面垂直的性质及平面SAB⊥平面ABCD，可得SH⊥平面ABCD．
作HG⊥BD于G点，连接SG，利用三垂线定哩可得SG⊥BD．于是得到∠SGH是二面角S-BD-F的平面角．求出即可．

解答：（I）证明：∵E、F分别是线段SC、CD的中点，∴EF∥SD．
∵△SAB是等腰直角三角形，且SA=SB=

2

，∴AB=

2

SA=

2

×

2

=2．
∵DF=

1

2

CD=2，AB∥CD，
∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD．
又∵EF∩BF=F，
∴平面BEF∥平面SAD；
（II）解：取AB的中点H，连接SH，则SH⊥AB，
∵平面SAB⊥平面ABCD，∴SH⊥平面ABCD．
作HG⊥BD于G点，连接SG，则SG⊥BD．
∴∠SGH是二面角S-BD-F的平面角．
∵AB=AD，AD⊥AB，∴∠GBH=45°，
∵SH=BH=1，∴HG=

2

2

，
∴tan∠SGH=

SH

GH

=

2

，
∴cos∠SGH=

3

3

．

点评：熟练掌握等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理、平行四边形的性质和面面平行的判定定理、面面垂直的性质、三垂线定理、二面角的作法等是解题的关键．