Question

3．设正实数x，y满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，则y的最大值是$\sqrt{5}$-2．

Answer 1

分析 正实数x，y满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，化为yx²+（y²-1）x+4y=0，由于关于x的方程有正实数根，可知△≥0．又x₁x₂=4＞0，可知x₁与x₂同号，必有x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$，解得0＜y＜1．再利用△≥0．解出即可得到最大值．

解答 解：正实数x，y满足xy=$\frac{x-4y}{x+y}$，
化为yx²+（y²-1）x+4y=0，
∵关于x的方程有正实数根，∴△≥0．
又x₁x₂=$\frac{4y}{y}$=4＞0，∴x₁与x₂同号，
∴x₁+x₂=$\frac{1-{y}^{2}}{y}$＞0，解得0＜y＜1．
由△≥0．∴（y²-1）²-16y²≥0，
∴（y²+4y-1）（y²-4y-1）≥0．
∵0＜y＜1，∴y²-4y-1＜0，
∴y²+4y-1≤0，
解得0＜y≤$\sqrt{5}$-2．
∴实数y的最大值为$\sqrt{5}$-2．
故答案为：$\sqrt{5}$-2．

点评 本题考查了一元二次方程有正实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，考查了转化思想，考查了推理能力和计算能力，属于难题．