Question

【题目】已知P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =___________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据椭圆的性质化简条件,得到△F1PF2所满足的条件,再根据已知三条边长成等差数列,列等式求解离心率.

由椭圆的性质,可知O为F1F2的中点,所以,由及得所以∠F1PF2=90°.设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义,可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即m+2c=2(2a-m),解得m=(4a-2c),即|PF1|=(4a-2c).所以|PF2|=2a-(4a-2c)= (2a+2c).又∠F1PF2=90°,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即=(2c)2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=c或a=-c(舍去).则e=.故答案为