Question

【题目】设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B．

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）e>且e≠；（2）a＝.

【解析】

（1）由直线与双曲线联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，结合条件得，从而可得离心率范围；

（2）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得x1＝x2，由根与系数的关系可得－＝，从而得解.

(1)将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.①

∴解得0<a<且a≠1.

又双曲线的离心率e＝，∴e>且e≠.

(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．有P(0,1)．

∵，∴(x1，y1－1)＝ (x2，y2－1)．

由此得x1＝x2.由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，因此由根与系数的关系，得x2＝－， ＝－.

消去x2，得－＝.由a>0，得a＝.